Pela resolução de cada um dos seguintes problemas,
a Fundação Clay paga um milhão de dólares.
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01-A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer
Quais são os ternos de números inteiros que vericam a equação x^2 + y^2 = z^2 ?
Existem soluções bem conhecidas, como (3; 4; 5) já que é verdade que 3^2+4^2 = 5^2. E,
há mais de 2300 anos, Euclides demonstrou, por via de uma descrição compreensiva,
que há uma infinidade de soluções. A situação torna-se mais complicada e difícil se
os coeficientes e os expoentes desta equação forem outros... Sabe-se mesmo, desde
há trinta anos, que não existe um método geral para determinar quantas dessas
equações têm soluções inteiras. Entrentanto, para uma classe muito importante de
equações, as curvas elípticas de gênero 1, os matemáticos ingleses Bryan Birch e
Peter Swinnerton-Dyer, no início dos anos 60, conjecturaram que o número de
soluções depende de uma função F(x) associada a uma equação: se a função F(x) se anula para
o valor 1 [F(1) = 0], há um número infinito de soluções. Isto é o que diz a conjectura
e o que os matemáticos pensam, mas até agora ninguém o provou...
Quais são os ternos de números inteiros que vericam a equação x^2 + y^2 = z^2 ?
Existem soluções bem conhecidas, como (3; 4; 5) já que é verdade que 3^2+4^2 = 5^2. E,
há mais de 2300 anos, Euclides demonstrou, por via de uma descrição compreensiva,
que há uma infinidade de soluções. A situação torna-se mais complicada e difícil se
os coeficientes e os expoentes desta equação forem outros... Sabe-se mesmo, desde
há trinta anos, que não existe um método geral para determinar quantas dessas
equações têm soluções inteiras. Entrentanto, para uma classe muito importante de
equações, as curvas elípticas de gênero 1, os matemáticos ingleses Bryan Birch e
Peter Swinnerton-Dyer, no início dos anos 60, conjecturaram que o número de
soluções depende de uma função F(x) associada a uma equação: se a função F(x) se anula para
o valor 1 [F(1) = 0], há um número infinito de soluções. Isto é o que diz a conjectura
e o que os matemáticos pensam, mas até agora ninguém o provou...
02-A hipótese de Riemann
2, 3, 5, 7, ..., 1999, ... Os números primos - divisíveis unicamente por 1 e por
eles mesmos - desempenham um papel central na aritmética. Embora pareça que
a repartição destes números não obedece a qualquer regra, ela está relacionada estreitamente
ao comportamento de uma função descoberta pelo gênio suiço Leonhard
Euler no século XVIII. Em 1859, Bernard Riemann afirmou que os valores interessantes
que anulam a função de Euler se situam todos sobre uma mesma reta.
Esta intuição do matemático alemão faz parte da lista dos 23 problemas de Hilbert
enunciada há cem anos. Esta hipótese foi atacada pelo Gotha dos matemáticos nos
últimos cinquenta anos. Está mesmo verficada para os 1 500 000 000 primeiros valores...
mas não chegou a ser demonstrada. "Para muitos matemáticos" - diz Enrico
Bombier, da Universidade de Princeton(EUA) - "é provavelmente o mais importante
problema das matemáticas fundamentais". Para David Hilbert, era mesmo o mais
importante problema posto à humanidade!
2, 3, 5, 7, ..., 1999, ... Os números primos - divisíveis unicamente por 1 e por
eles mesmos - desempenham um papel central na aritmética. Embora pareça que
a repartição destes números não obedece a qualquer regra, ela está relacionada estreitamente
ao comportamento de uma função descoberta pelo gênio suiço Leonhard
Euler no século XVIII. Em 1859, Bernard Riemann afirmou que os valores interessantes
que anulam a função de Euler se situam todos sobre uma mesma reta.
Esta intuição do matemático alemão faz parte da lista dos 23 problemas de Hilbert
enunciada há cem anos. Esta hipótese foi atacada pelo Gotha dos matemáticos nos
últimos cinquenta anos. Está mesmo verficada para os 1 500 000 000 primeiros valores...
mas não chegou a ser demonstrada. "Para muitos matemáticos" - diz Enrico
Bombier, da Universidade de Princeton(EUA) - "é provavelmente o mais importante
problema das matemáticas fundamentais". Para David Hilbert, era mesmo o mais
importante problema posto à humanidade!
03-A conjectura de Hodge
Euclides não compreenderia coisa alguma da geometria moderna! Durante o
século XX, retas e círculos têm sido substituídos por conceitos algébricos, mais
gerais e mais eficazes. A ciência das figuras do espaço passou progressivamente
da geometria à "cohomologia". Progressos enormes também têm sido realizados
no que respeita à classificação dos objectos matemáticos, mas a generalização dos
conceitos progressivamente fez desaparecer progressivamente as origens geométricas
da teoria. Em 1950, o matemático inglês William Hodge sugere que, para certos
tipos de espaços, os elementos desta cohomologia podem regressar à sua origem
geométrica...
Euclides não compreenderia coisa alguma da geometria moderna! Durante o
século XX, retas e círculos têm sido substituídos por conceitos algébricos, mais
gerais e mais eficazes. A ciência das figuras do espaço passou progressivamente
da geometria à "cohomologia". Progressos enormes também têm sido realizados
no que respeita à classificação dos objectos matemáticos, mas a generalização dos
conceitos progressivamente fez desaparecer progressivamente as origens geométricas
da teoria. Em 1950, o matemático inglês William Hodge sugere que, para certos
tipos de espaços, os elementos desta cohomologia podem regressar à sua origem
geométrica...
04-As equações de Navier-Stokes
Estas fórmulas regem a forma das vagas (ondas), a turbulência do ar, os movimentos
da atmosfera, e mesmo a formação das galáxias no universo primitivo. Chegaram
a elas o francês Henri Navier e o irlandês George Stokes há mais de cinquenta anos,
não sendo elas mais do que a aplicação das leis do movimento de Newton a um
líquido ou a um gás. No entanto, as equações de Navier-Stokes permanecem um
mistério matemático: até hoje, foi impossível explicar e prever rigorosamente o
comportamento das soluções destas equações. "Não se sabe mesmo se tais soluções
existem", sublinha o matemático americano Charles Fefferman. Significa que a
nossa compreensão destas equações está ainda num nível muito primitivo.
Estas fórmulas regem a forma das vagas (ondas), a turbulência do ar, os movimentos
da atmosfera, e mesmo a formação das galáxias no universo primitivo. Chegaram
a elas o francês Henri Navier e o irlandês George Stokes há mais de cinquenta anos,
não sendo elas mais do que a aplicação das leis do movimento de Newton a um
líquido ou a um gás. No entanto, as equações de Navier-Stokes permanecem um
mistério matemático: até hoje, foi impossível explicar e prever rigorosamente o
comportamento das soluções destas equações. "Não se sabe mesmo se tais soluções
existem", sublinha o matemático americano Charles Fefferman. Significa que a
nossa compreensão destas equações está ainda num nível muito primitivo.
Fundação Clay - http://www.claymath.org/prize problems Science & Vie.
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