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10 de set. de 2011
Matemática recreativa
6 de set. de 2011
A MATEMÁTICA DA BELEZA
Marcelo Gleiser é professor de física teórica no Dartmouth College, em Hanover (EUA) e autor do livro "A Harmonia do Mundo”. Artigo publicado na “Folha de SP”:
O que conchas de caracóis, galáxias, furacões, os chifres de um bode e a curva do seu lábio superior têm em comum? Todos seguem a mesma curva fundamental, a espiral logarítmica. Não, seus lábios não são uma espiral, mas parte dela.
Todas essas formas, além de revelarem uma elegância única, atestam também uma unidade nos processos criativos que existem no mundo natural. No caso da espiral, ela surge quando a parte externa de um objeto cresce mais rapidamente do que a interna.
Observar e apreciar a beleza das espirais equivalem a olhar para o mundo com os olhos de um artista e de um matemático ao mesmo tempo. Por trás dessas e muitas outras formas, existe um número mágico, a chamada seção áurea ou proporção divina, 1,618.
O número aparece na famosa série de Fibonacci, o italiano que em 1202 escreveu um manual de matemática chamado "Livro do Ábaco". Nele, Fibonacci examinou a série de números obtidos ao somarmos os dois anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...
Quando dividimos um número pelo seu antecessor, a série converge para a seção áurea. Por exemplo, 34/21 = 1,6190..., e 144/89 = 1,61798... Aliás, é essa a razão aproximada da sua altura e da altura do seu umbigo até o chão.
A sessão áurea define as proporções do retângulo áureo (o lado maior 1,618 vez maior do que o menor). A espiral logarítmica cabe dentro desse retângulo áureo.
Deles surge também o triângulo áureo, um triângulo isósceles (dois lados iguais) com ângulos de 72-36-72. Essas formas aparecem e reaparecem na natureza e na organização espacial de inúmeras obras de arte. Por exemplo, a Mona Lisa, talvez o quadro mais famoso do mundo, pintado por Leonardo da Vinci e terminado em 1507, respeita várias proporções áureas: a cabeça e o torso da modelo cabem num retângulo áureo e seu corpo e cabeça, num triângulo áureo.
Seu olho esquerdo divide o quadro ao meio, dando-lhe a dimensão psicológica que o tornou imortal.
Acabo de ler o livro "Math and the Mona Lisa" (A Matemática e a Mona Lisa) do físico e ilustrador Bülent Atalay. O livro sairá em breve no Brasil pela editora Mercúrio Jovem. Nele, o autor explora uma pergunta essencial, usando Da Vinci como inspiração: Até que ponto é possível integrar os princípios criativos da arte e da ciência?
A escolha de Leonardo não é acidental. Deixando de lado o furor recente provocado pelo livro "O Código Da Vinci", de Dan Brown, Leonardo, mais do que qualquer personagem da história, encarna a união da razão e da sensibilidade artística. "Olhe para a natureza e deixe-a ser sua mentora", afirmou. Para Leonardo, a natureza obedece a regras estéticas ditadas pela matemática, a matemática da beleza.
Mesmo que não tenha declarado explicitamente que seus quadros e ilustrações foram criados a partir de proporções baseadas na seção áurea, ela aparece em várias ocasiões.
Seus projetos tecnológicos, como máquinas voadoras, submarinos, pára-quedas e catapultas, bem como seus quadros e desenhos anatômicos, são prova de que ele seguia à risca seu próprio conselho, usando as soluções estéticas encontradas na natureza para criar suas obras. A construção da beleza segue princípios científicos que o artista aprende olhando para o mundo.
Para Leonardo da Vinci, ciência e arte eram uma coisa só, um veículo de expressão cuja função era recriar a beleza das formas naturais. A natureza era sua grande mestra.
(Folha de SP, 18/3)
Leia também... A simetria do acasalamento
4 de set. de 2011
Proporção áurea - A beleza das faces
A proporção áurea, número de ouro, número áureo, proporção dourada, também é chamada de divina proporção é uma constante real algébrica irracional manifesta pela letra grega φ (phi) e com o valor arredondado a três casas decimais de 1,618. É um número que há muito tempo é empregado na arte.
É proporção geométrica mais conhecida e usada na pintura, escultura e arquitectara clássicas, renascentistas e pós-modernistas que se baseia no seguinte princípio:
"seccionar um segmento de reta de tal forma que a parte menor esteja para a maior como este está para o todo".
Um homem de ciência: Leonardo da Vinci, afirmava que a arte deveria manifestar por ela própria um movimento contínuo e beleza. Para se atingir este fim, Leonardo utilizou extensivamente o rectângulo de Ouro nas suas obras.
A designação adaptada para este número, φ (Phi maiúsculo), é a inicial do nome de Fídias que foi escultor e arquitecto encarregado da construção do Pártenon, em Atenas.
Estes elementos são encontrados facilmente na natureza.
O φ (Phi) é um número misterioso que tem algumas quantidades relacionadas e formas, e ele aparece nas proporções do corpo humano e outros animais, nas plantas, no DNA, no sistema solar, na arte e na arquitetura, na música, etc.
Mas como aqui tratamos de arte especificamente retratos vamos as divinas proporções em um rosto super conhecido da Angelina Jolie.
Aqui foi usada a máscara que do Dr. Stephen Marquardt, um ex-cirurgião plástico, que usou a secção áurea para fazer uma máscara que ele afirma que é a forma mais bonita de rosto humano pode ter, usando pentágonos como sua função, que incorpora φ (Phi) em todos os as suas dimensões. Usando também a proporção áurea tracei linhas sobre o rosto mostrando separadamente a proporção aplicada ao rosto da Angelina Jolie.
Aqui fiz uma brincadeira recortei o rosto pela metade e dupliquei espelhado, vejam que mesmo assim Angelina Jolie é linda de todo jeito "a simetria do rosto é quase perfeita, sabemos que as duas faces do rosto não são 100% iguais e as pessoas que tem a simetria e proporção das duas metades mais aproximadas são assim consideradas mais 'bonitas' mas como dizem beleza está nos olhos de quem vê"
Aqui crie um esquema simples de proporção de rosto baseado no livro Desenhando com Lado Direito do Cérebro marcando algumas distancias com linhas diretrizes verticais e horizontais a partir dai você pode conseguir um esboço bem proporcional da foto que vai retratar =D
Fonte:
Máscara:
SIMETRIAS: MAIS:
Fermat
Coube à Fermat a entronização de eixos perpendiculares, a descoberta das equações da reta e da circunferência, e as equações mais simples de elipses, parábolas e hipérboles. Por mérito, as coordenadas cartesianas deviam denominar-se coordenadas fermatianas.
Cartesius é a forma latinizada de Descartes (René). Foi mais filósofo que matemático e em sua obra Discours de la Méthode (3º apêndice, La Géométrie), publicada em 1637, limitou-se a apresentar as ideias fundamentais sobre a resolução de problemas geométricos com utilização da Álgebra. Porém, é curioso observar que o sistema hoje denominado cartesiano não tem amparo histórico, pois sua obra nada contém sobre eixos perpendiculares, coordenadas de um ponto e nem mesmo a equação de uma reta. No entanto, Descartes “mantém um lugar seguro na sucessão canônica dos altos sacerdotes do pensamento, em virtude da têmpera racional de sua mente e sua sucessão na unidade do conhecimento. Ele fez soar o gongo e a civilização ocidental tem vibrado desde então com o espírito cartesiano de ceticismo e de indagação que ele tornou de aceitação comum entre pessoas educadas” (George Simmons). Segundo ainda este proeminente autor, La Géométrie “foi pouco lida então e menos lida hoje, e bem merecidamente”.
E não há como resistir à tentação de expor um tópico lendário da Matemática: o Último Teorema de Fermat. Em 1637, estudando um exemplar da Aritmética, de Diofanto (séc. III d.C.), Fermat deparou-se com o teorema:
A equação xn + yn = zn não admite solução para x, y, z inteiros e positivos, quando o expoente n for inteiro, positivo e maior que 2.
No livro de Diofanto, Fermat anotou: “encontrei uma demonstração verdadeiramente admirável para este teorema, mas a margem é muito pequena para desenvolvê-la”. Naturalmente, há quem duvide que ele tenha dito a verdade. Porém, além de íntegro, moralmente idôneo, hábil na teoria dos números, lembramos que Fermat jamais cometeu um engano ou disparate matemático. Gerações inteiras de matemáticos têm maldito a falta de espaço daquela margem. Por mais de três séculos, praticamente todos os grandes expoentes da Matemática (entre eles Euler e Gauss) debruçaram-se sobre o assunto. Com o advento dos computadores foram testados milhões de algarismos com diferentes valores para x, y, z e n e a igualdade xn + yn = zn não se verificou. Assim, empiricamente, comprova-se que Fermat tenha razão. Mas e a demonstração? Que tal um projeto para as suas próximas férias e alcançar a imortalidade?! Além disso, um renomado empresário e matemático alemão – Paul Wolfskehl – na noite que decidira suicidar-se em sua biblioteca, depara com o Último Teorema de Fermat, e muda de ideia. Em seu testamento, deixou em 1906 a quantia de cem mil marcos para quem o demonstrasse.
Em 1993, Andrew Wiles, matemático da Universidade de Princeton (EUA), após trinta anos de fascínio, interrupções e paciente obstinação, apresentou a sua demonstração em 140 páginas. A notícia ocupou espaço nos noticiários do mundo inteiro. Bom demais para ser verdadeiro: matemáticos encontram um erro. Mais uma vítima do enigma de Fermat? Em 1996, Wiles reapresenta a demonstração e sobre a qual não há qualquer contestação.
Cumpre esclarecer que Wiles utilizou conceitos avançadíssimos, com os quais Fermat nem poderia ter sonhado. Assim chega ao fim uma história épica na busca do Santo Graal da Matemática.
Propiciando notáveis avanços em vários ramos da Matemática, a saga de 359 anos de tentativas, erros e acertos está admiravelmente descrita no livro: o Último Teorema de Fermat, do autor inglês Simon Singh, com 300 páginas.
E o que pensa a comunidade dos matemáticos a respeito de Fermat? A maioria admite que ele escreveu com convicção que “a margem do livro era muito pequena”, porém sua demonstração possuía erros.
Jocoso é o nova-iorquino anônimo que grafitou numa estação de metrô: xn + yn = zn
Descobri uma demonstração admirável para este teorema... porém, o trem está chegando! Que pena! Maldito trem!
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