A Matemática do som

O que são e para que servem os logaritmos.

Em abril tomei posse na Academia Paulista de Educação e a festa foi precedida por duas apresentações musicais. No meio de tanta emoção, até me assustei quando um jovem pianista, ao cumprimentar-me, perguntou se poderia fazer uma pergunta que há anos o intrigava.

Quando eu era menino, começou, não gostava muito de Matemática. Mas meu irmão mais velho assinava a SUPER e teimava em ler para mim os seus artigos. Em geral eu não via neles muito interesse, até que um dia ele leu uma frase que me fascinou. Era algo assim: Tocar piano é como dedilhar sobre os logaritmos'. O que o senhor quis dizer com isso?

Ele falava do texto O piano e a tábua de logaritmos, publicado em abril de 1988. Esse logaritmo que tem a ver com música é aquela coisa que eu estudei no colegial e que até hoje não sei direito do que se trata?, perguntou o pianista.

Imediatamente me lembrei das palavras de John Napier (1550-1617), o inventor dos logaritmos. Na medida das minhas possibilidades, ele disse, proponho-me a evitar as difíceis e aborrecidas operações do cálculo, cujo tédio constitui um pesadelo para muitos dos que se dedicam ao estudo da Matemática. Pierre Simon Laplace (1749-1827), astrônomo, matemático e físico francês, aplaudiria a tremenda ajuda: Com a redução do trabalho de cálculo, de vários meses para uns dias, o invento dos logaritmos parece ter duplicado a vida dos astrônomos.

Aquela coisa, portanto, que muita gente estuda e acaba sem entender é incrivelmente importante. Só para rememorar: você certamente conhece uma operação matemática chamada potenciação. Por exemplo, 53 = 125, isto é, a base 5, elevada ao expoente 3 resulta na potência 125. Ou seja, 53 = 5x5x5 = 125.

Se em uma potenciação conhecemos a base (5, no caso) e a potência (125), a operação que permite encontrar o expoente que devemos atribuir à base para obtermos a potência é o que denominamos logaritmo. Assim: log5125 = 3, pois 53 = 125. O logaritmo de 125 na base 5 é o 3, pois 3

é o expoente que temos que atribuir à base 5 para obter a potência 125.

Quando algo varia com o expoente, usamos o loga-ritmo para expressar tal variação. Sabe-se, por exemplo, que a força física envolvida em certos sons (para sermos mais precisos, a energia) é uma potência cuja base é 10. Assim, enquanto o leve rumorejar das folhas é da ordem de 101, uma conversa em voz alta é algo como 106,5 e um martelo sobre uma lâmina de aço chega a 1011.

Os ruídos industriais afetam a saúde e a produtividade dos operários e, por essa razão, estabeleceu-se um método para medi-los.

A intensidade de um som, expressa em bels, é o logaritmo decimal (na base 10) de sua intensidade física.

Assim, enquanto o rumorejar das folhas é de 1 bel, o som de um martelo sobre uma lâmina é de 11 bels. Sabe-se que um ruído superior a 8 bels é prejudicial ao organismo humano e esse limite deveria ser respeitado.

O filósofo e psicólogo alemão Gustav Theodor Fechner (1801-1887) estabeleceu a lei psicofísica que se tornou conhecida como a lei de Veber-Fechner: A sensação varia com o logaritmo da excitação. São os logaritmos invadindo o campo da Psicologia, como já invadiram a Astronomia, a Economia, a Química, a Música, a Biologia etc.

Em tempo: você certamente já ouviu falar da unidade decibel (um décimo de bel) usada para representar a intensidade dos sons. O rugido de um leão é da ordem de 8,7 bels ou 87 decibéis (ou decibels, como preferir). Assim, quando você estiver muito bravo, não ruja como um leão, senão vai estar 7 decibéis acima do tolerável.

Luiz Barco é professor da Escola de Comunicação e Artes da Universidade de São Paulo